難題解答 2010 HKCEE MC 49

有個學生Whatapp問我這一題, (我說過太淺的問題不要問我) 一看, 果然是優質 的題目, 有點難度, 於是便把解答很有心機地整理一下, 再發給大家看。

這題特別之處在於它是一條圓形圖的題目, 卻沒有考到任何圓的性質(Properties of Circle)一課中的theorem, 考的全部都是初中學過的演繹幾何(Deductive Geometry).

連高中常用的sine formula 和cosine formula都無用武之地。 這樣一條題目, 很容易迷惑到人的呢!

 

怎樣入手?

首先, 我們必須從已知線索開始, 我們知道甚麼? 兩條資料: (1) AD是直徑(diameter), 長20cm; (2) BC長12cm

由於題目是求長度, 不是求角度, 因此與角度有關的theorem基本上都用不著。

原圖的的線條簡單, 我們就加線, 嘗試找出更多蛛絲螞迹, 

加在哪裡好?

由圓心向下一條垂直線吧(見下圖OZ), 因為加了後再多畫一條半徑(BO), 就構成了一個直角三角形, 而基中兩條線都是已知, 因此可用畢氏定理(Pyth. theorem)計出長度。

之後呢?

之後我們還要找出這條線與AX + DY有甚麼關係?

最直觀的想法是, 用座標幾何的想法, 把XY所在的橫線當作x-軸, AX=A的y座標, DY=D的y座標, 利用中點公式, 即可發現 (AX + DY)/2 = OZ。

由於OZ 已經找出了, 乘2便是答案。 另一種方法, 還是用平面幾何的想法, 也是大同小異, 可以詳看下面的解。 (自己看吧!)

我就知道你們會問:「現在看完了, 明白哂! 但考試時想不出幾何的解法怎麼辦?」

簡單,

在草稿紙上把圖按比例畫出來, 再用尺度一度吧! 快捷方便!