難題解答 [Permutation and Combination]

解題:

簡單而言, 就係由A至B, 只能向北和向東行的話, 有多少種行法?

思路:

可以把路徑寫成NNNEEEE/ NNEEEEN/ ... 無論怎樣走, 路徑都有以下特點:

由七步組成, 三步向北, 四步向東, 次序不限。

錯誤方法:

 nPr: 雖然題目係用arrangement有關, 但卻不能簡單用 7P7計, 因為 7P7 的意思是把7步都看為獨特的單位來排列(N1,N2,N3,E1,E2,E3,E4), 但事實上, N1, N2, N3 根本完全沒有分別, 因此用nPr計算會計算出過大的數目。

 3P4P4: 這個也是錯誤的, 這算式是把N和E分開, 然後三步N內部排列後乘以四步E的內部排列, 不知學生是如何想出?? 甚麼邏輯??!! (是「斷估」的吧!)

正確方法:

方法1:

方法2:

7C3  or  7C4

當只有兩種可能性 (向北或向東), 而兩種可能性都有固定的次數, 我們可以將上述情況作以下理解:

有7步, 不是向東就是向北, 現考慮向北指令的位置:

NNNEEEE 這方法的向北指令位置為 1, 2, 3. (次序不影響結果)

NENNEEE 這方法的向北指令位置為 1, 3, 4. (次序不影響結果)

因此可以把題目要求的方法數理解為向北指令指派位置安排, 那就是在1至7的位置裡抽3個位置出來, 次序不影響結果, 那就是7C3

如轉用向東指令的位置去想, 那就是7C4